Soient $m$ et $n$ deux entiers premiers entre eux, et $a, b \in \mathbb{Z}$. Le système $$\begin{cases} x \equiv a \pmod{m} \\ x \equiv b \pmod{n} \end{cases}$$ admet une unique solution modulo $mn$.

Soient $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. intégrables d'espérance $\mathbb{E}[X_1]$ et $N$ une variable aléatoire intégrable à valeurs dans $\mathbb{N}$ indépendante de $(X_n)$…

Soient $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. positives d'espérance $\mathbb{E}[X_1]$ et $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ indépendante de $(X_n)$. On pose…

Dans un groupe de $n$ personnes, quelle est la probabilité $P(n)$ qu'au moins deux personnes partagent la même date d'anniversaire ? Pour $n = 23$, montrer que $P(23) > 0,5$.

Pour un ensemble de $d$ dates possibles et $n$ personnes, établir une formule approximative pour le nombre minimum $n$ de personnes nécessaires pour avoir une probabilité $p$ de collision d'anniversai…

Soit $(X, \Sigma, \mu)$ un espace mesuré. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables positives de $X$ dans $[0, +\infty]$. Alors…

Soit $(X, \Sigma, \mu)$ un espace mesuré. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables de $X$ dans $[0, +\infty]$ telle que $f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$ pour tout $n$ et tout…

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables convergeant p.p. vers $f$, avec $|f_n| \leq g$ p.p. où $g$ est intégrable. Alors $f$ est intégrable et…

Soit $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré et $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables. Si $f_n \to f$ presque partout, et s'il existe $g$ intégrable avec $|f_n| \leq g$ p.p. pour tout $n$, alors…

Soit $(A_n)_{n\geq 1}$ une suite d'événements indépendants dans un espace de probabilité. Si $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \infty$, alors $P(A_n \text{ i.o.}) = 1$.

Soit $(A_n)_{n\geq 1}$ une suite d'événements dans un espace de probabilité. Si $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) < \infty$, alors $P(A_n \text{ i.o.}) = 0$, où $A_n$ i.o. (infiniment souvent) désigne…

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ i.i.d. avec $\mathbb{E}(X_1) = 0$, $\text{Var}(X_1) = 1$, et moments bornés. Soit $Y_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{\sqrt{n}}$. Alors…

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes identiquement distribuées avec $\mathbb{E}(X_1) = \mu$, $\text{Var}(X_1) = \sigma^2 > 0$. On pose…

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, intégrables. Soit $\mu = \mathbb{E}[X_1]$ et $S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$. Alors…

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, intégrables, d'espérance $\mu = \mathbb{E}[X_1]$. Soit $S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$. Alors pou…

Soit $\varphi : I \to \mathbb{R}$ une fonction convexe sur un intervalle $I$. Pour tous $x_1, \ldots, x_n \in I$ et tous poids $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in [0,1]$ tels que…

Soit $X$ une variable aléatoire réelle admettant une espérance $\mathbb{E}(X)$, et soit $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction convexe telle que $\mathbb{E}(\varphi(X))$ existe. Alors…

Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires convergeant en probabilité vers une constante $c$. Alors $(X_n)$ converge en loi vers $c$.

Soit $X$ une variable aléatoire positive et intégrable. Pour tout $a > 0$, on a : $$\mathbb{P}(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{a}$$

Soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), d'espérance $\mu$ finie et de variance $\sigma^2$ finie. On note…