Soit $f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$ une fonction méromorphe où $P$ et $Q$ sont holomorphes. Si $z = a$ est un pôle simple de $f$ (c'est-à-dire $Q(a) = 0$ et $Q'(a) \neq 0$, avec $P(a) \neq 0$), alors le r…

Soit $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert $U \subset \mathbb{C}$, sauf aux points d'un ensemble $S = \{z_1, z_2, \ldots, z_n\}$ de singularités isolées. Soit $\gamma$ un chemin fermé simple, ori…

Soit $u : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ une fonction. Considérons le problème de Cauchy quasi-linéaire:…

Soit $a > 0$ et $F : (-a, a) \to \mathbb{R}$ une fonction analytique réelle au voisinage de $0$. Considérons le problème de Cauchy: $$\frac{du}{dt} = F(u(t)), \quad u(0) = 0$$ Alors la solution $u(t)$…

Lorsque $N \to +\infty$, la loi hypergéométrique $\mathcal{H}(N,n,p)$ converge vers la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Autrement dit, pour $k$ fixé,…

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique $\mathcal{H}(N,n,p)$, où $N$ est le nombre total d'éléments, $n$ le nombre de tirages sans remise, et $p$ la proportion d'éléments poss…

Soit $\lambda > 0$ et $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires de loi binomiale $\mathcal{B}(n, p_n)$ où $(p_n)_{n \geq 1}$ est une suite telle que $\lim_{n \to +\infty} np_n = \lambda$. A…

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$, c'est-à-dire $\mathbb{P}(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. Montrer que…

Soit $p \in ]0,1[$ un réel fixé et soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires telle que $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Posons $$Z_n = \frac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$$ Alors, p…

Pour tout nombre réel $x$ et pour tout entier relatif $n \in \mathbb{Z}$, on a : $$\left(\cos(x) + i\sin(x)\right)^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$$

Les polynômes d'Hermite $H_n(x)$, définis par $H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$, satisfont la relation de récurrence suivante pour tout $n \geq 1$ :…

Le nombre $e$ est transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est pas algébrique : il n'existe aucun polynôme non nul $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ à coefficients entiers tel que…

Les polynômes de Tchebychev $T_n(x) = \cos(n \arccos x)$ sont orthogonaux sur $[-1,1]$ relativement à la fonction poids $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Plus précisément :…

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mathbb{E}(X) = \mu$ et de variance $V(X) = \sigma^2$. Alors, pour tout réel $\alpha > 0$, on a…

Toute fonction continue $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ peut être approchée uniformément par des polynômes. Plus précisément, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un polynôme $P$ tel que…

S'il existe une injection $f : E \to F$ et une injection $g : F \to E$, alors il existe une bijection $h : E \to F$.

Les nombres de Catalan satisfont la relation de récurrence suivante : $$C_0 = 1 \quad \text{et} \quad C_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} C_i C_{n-i} \quad \text{pour } n \geq 0$$

Pour tout entier naturel $n \geq 0$, le $n$-ième nombre de Catalan est donné par : $$C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}$$

Soit $G = (V, E)$ un graphe contenant une clique d'ordre $m$ (c'est-à-dire un sous-graphe complet à $m$ sommets). Alors $\chi(G) \geq m$.

Soit $G = (V, E)$ un graphe et $\Delta$ le degré maximum de ses sommets. Alors $\chi(G) \leq \Delta + 1$.