Lemme de Riesz
Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé, $F$ un sous-espace vectoriel fermé strict de $E$, et $r \in ]0,1[$. Alors il existe un vecteur $u \in E$ tel que $\|u\| = 1$ et $d(u, F) \geq r$, où…
Densité des polynômes orthogonaux dans $L^2(I,\rho)$
Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle et $\rho: I \to \mathbb{R}_+^*$ une fonction intégrable telle qu'il existe $\alpha > 0$ vérifiant $\int_I e^{\alpha|x|}\rho(x)\,dx < +\infty$. Montrer que l'e…
Premier théorème fondamental de l'analyse (via sommes de Riemann)
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction intégrable sur $[a,b]$. On définit la fonction $F : [a,b] \to \mathbb{R}$ par $$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$$ pour tout $x \in [a,b]$. Alors $F$ est continu…
Convergence des sommes de Riemann vers l'intégrale (fonction continue)
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$. Soit $\sigma_n$ une subdivision régulière de $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles de largeur $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. Pour c…
Critère de Riemann pour les intégrales généralisées à l'infini
Soit $a > 0$ et $f$ une fonction continue par morceaux sur $[a, +\infty[$. 1. S'il existe $\alpha > 1$ tel que $\lim_{t \to +\infty} t^\alpha f(t) = 0$, alors…
Critère d'intégrabilité de Riemann (Darboux)
Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction bornée. Alors $f$ est Riemann intégrable si et seulement si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une subdivision $\sigma$ de $[a,b]$ telle que…
Produit de Cauchy de deux séries (théorème de convergence)
Soient $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ deux séries numériques absolument convergentes. Alors la série de terme général $$w_n = \sum_{k=0}^{n} u_k v_{n-k}$$ (produit de Cauchy) est absolument convergente …
Calcul du résidu pour un pôle simple
Soit $f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$ une fonction méromorphe où $P$ et $Q$ sont holomorphes. Si $z = a$ est un pôle simple de $f$ (c'est-à-dire $Q(a) = 0$ et $Q'(a) \neq 0$, avec $P(a) \neq 0$), alors le r…
Théorème des résidus
Soit $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert $U \subset \mathbb{C}$, sauf aux points d'un ensemble $S = \{z_1, z_2, \ldots, z_n\}$ de singularités isolées. Soit $\gamma$ un chemin fermé simple, ori…
Théorème de Cauchy-Kovalevskaya (version EDP)
Soit $u : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ une fonction. Considérons le problème de Cauchy quasi-linéaire:…
Théorème de Cauchy-Kovalevskaya (version EDO)
Soit $a > 0$ et $F : (-a, a) \to \mathbb{R}$ une fonction analytique réelle au voisinage de $0$. Considérons le problème de Cauchy: $$\frac{du}{dt} = F(u(t)), \quad u(0) = 0$$ Alors la solution $u(t)$…
Transcendance de e (Théorème d'Hermite)
Le nombre $e$ est transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est pas algébrique : il n'existe aucun polynôme non nul $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ à coefficients entiers tel que…
Orthogonalité des polynômes de Tchebychev
Les polynômes de Tchebychev $T_n(x) = \cos(n \arccos x)$ sont orthogonaux sur $[-1,1]$ relativement à la fonction poids $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Plus précisément :…
Théorème d'approximation de Weierstrass (preuve de Bernstein)
Toute fonction continue $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ peut être approchée uniformément par des polynômes. Plus précisément, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un polynôme $P$ tel que…
Non-dénombrabilité de $[0,1]$ par l'argument diagonal
L'intervalle $[0,1]$ n'est pas dénombrable, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de bijection entre $\mathbb{N}$ et $[0,1]$.
Aire sous une arche de cycloïde
Soit une cycloïde engendrée par un cercle de rayon $R$ roulant sans glisser sur une droite. L'aire sous une arche de cycloïde est égale à $3\pi R^2$.
Formulation alternative : unions de fermés maigres
Soit $(X,d)$ un espace métrique complet. Si $(F_n)_{n\geq 1}$ est une suite de fermés d'intérieur vide dans $X$, alors $\bigcup_{n\geq 1}F_n$ est d'intérieur vide.
Théorème de Baire pour les espaces métriques complets
Soit $(X,d)$ un espace métrique complet. Alors toute intersection dénombrable d'ouverts denses dans $X$ est dense dans $X$.
Théorème du point fixe de Brouwer
Soit $B^n$ la boule unité fermée de $\mathbb{R}^n$. Toute application continue $f : B^n \to B^n$ admet un point fixe.
Théorème du point fixe de Banach-Picard
Soit $(E,d)$ un espace métrique complet et $f : E \to E$ une application contractante, i.e. $\exists k \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in E^2$, $d(f(x),f(y)) \leq k d(x,y)$. Alors $f$ possède un un…
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