Existence
Soit $E$ le sous-ensemble de $\mathbb{N}$ défini par : $E=\{a-bq, \, q\in\mathbb{Z} \}\cap\mathbb{N}$.

Si $a \geq 0$ et $b>0$ alors pour $q=-1$, on a $e=a-bq$ $=$ $a+b > 0$ et donc $e\in E$.

Si $a \geq 0$ et $b<0$ alors pour $q=1$, on a $e=a-bq$ $=$ $a-b$ $=$ $a+|b| > 0$ et donc $e\in E$.

Si $a \leq 0$ et $b>0$ alors pour $q=a$, on a $e=a-bq$ $=$ $a-ba$ $=$ $a(1-b) > 0$, car $1-b \leq 0$ et donc $e\in E$.

Si $a \leq 0$ et $b<0$ alors pour $q=-a$, on a $e=a-bq$ $=$ $a+ba$ $=$ $a(1+b) > 0$, car $1+b \leq 0$ et donc $e\in E$.

L'ensemble $E$ est une partie de $\mathbb{N}$ qui est non vide, elle possède ainsi un plus petit élément que l'on note $r$.
Nous avons bien que $r\geq 0$ (puisque $E\subset \mathbb{N}$) et qu'il existe $q\in\mathbb{Z}$ tel que $a-bq =r$ ce qui donne $a=bq+r$.
Il nous reste à montrer que $r<|b|$.
On a : $r-|b|$ $=$ $a-bq-|b|$ $=$ $a-b(q\pm1)$ en fonction du signe de $b$.
Il existe donc un entier relatif $q'$ tel que $r-|b|=a-bq'$, mais $r$ étant le plus petit élément de $E$, et comme $r-|b| < r$, $r-|b|$ ne peut être une entier naturel et donc $r-|b| < 0$, c'est-à-dire $r < |b|$.
L'existence est bien démontrée.

Unicité
Soient $(q_1\,;r_1)$ et $(q_2\,;r_2)$ deux couples de $\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$ tels que : $a=bq_1+r_1$ et $a=bq_2+r_2$ avec $0\leq r_1 < |b|$ et $0\leq r_2 < |b|$.
En soustrayant ces deux égalités on a $b(q_2-q_1)+r_2-r_1=0$, c'est-à-dire $r_2-r_1=b(q_2-q_1)$ et $|r_2-r_1|=|b| \, |q_2-q_1|$.
Or, $0\leq r_2 < |b|$ et $-|b| < r_1 \leq 0$, ainsi $-|b| < r_2-r_1 < |b|$, d'où $|r_2-r_1| < |b|$, c'est-à-dire $|b| \, |q_2-q_1| < |b|$.
Puisque $b\neq 0$, on a alors $|q_2-q_1|<1$ ce qui donne $q_2-q_1=0$ et donc $q_1=q_2$.
De plus : $r_2=a-b q_2$ $=$ $a-bq_1$ $=$ $r_1$.
Les deux couples sont alors identiques et l'unicité est bien prouvée.

Division euclidienne dans $\mathbb{Z}$

Preuve

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